Leggi di trasformazione del tensore dei momenti di inerzia

Introduciamo il seguente prodotto tra vettori (prodotto diadico):
$$\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}\otimes\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix} \begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}^{T}=\begin{Bmatrix}x \\y\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}x &y\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}x^2 &xy \\yx &y^2\end{bmatrix}$$

Ovvero:

$$\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_{yy} &I_{xy} \\I_{yx} &I_{xx}\end{bmatrix}=\int_{A}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}^T\,dA$$

Il tensore dei momenti di inerzia può avere componenti positivi, negativi o nulli

Osservazione:
$I_{xx}\,,I_{yy}$ : sempre positivi o nulli
$I_{xy}\,,I_{yx}$ : positivi, negativi o nulli

Se adesso ci riferiamo al sistema di riferimento $\overline{X},\overline{Y}$ il tensore d’inerzia si scrive:

$$\begin{bmatrix}\overline{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline{I_{yy}} &\overline{I_{xy}} \\\overline{I_{yx}} &\overline{I_{xx}}\end{bmatrix}=\int_{A}\begin{Bmatrix}\overline{r}\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}\overline{r}\end{Bmatrix}^T\,dA$$

cioè:

$$\begin{bmatrix}\overline{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline{I_{yy}} &\overline{I_{xy}} \\\overline{I_{yx}} &\overline{I_{xx}}\end{bmatrix}=\int_{A}\begin{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}-\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\end{Bmatrix}\cdot\begin{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}-\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\end{Bmatrix}^T\,dA$$

e sviluppando i calcoli

$$\begin{bmatrix}\overline{I}\end{bmatrix}=\int_{A}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}^T\,dA-\int_{A}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}\,dA\cdot\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T-\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\int_{A}\begin{Bmatrix}r\end{Bmatrix}^T\,dA+\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T\int_{A}\,dA\\ \begin{bmatrix}\overline{I}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}-\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}\cdot\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T-\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\cdot \begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}^T+\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^{T}A$$

Se i calcoli vengono sviluppati rispetto ad un sistema di riferimento iniziale baricentrico, la formula precedente si semplifica dato che risultano nulli i momenti statici $\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}0 & 0 \end{Bmatrix}^{T}$

$$
\begin{gather}
\begin{array}{c}
\overline{I_{xx}} = I_{xx} +Ay_{0}^{2} -2y_{0} S_{x}\\
\overline{I_{yy}} = I_{yy} +Ax_{0}^{2} -2x_{0} S_{y}\\
\overline{I_{xy}} =\overline{I_{yx}} =I_{xy} +Ax_{0} y_{0} -x_{0} S_{y} -y_{0} S_{x}
\end{array}\
\end{gather}$$

Le ultime relazioni prendono il nome di leggi di Huygens.
Si può notare come il momento d’inerzia calcolato rispetto ad una coppia di assi baricentrici sia il minimo possibile tra quelli calcolati rispetto ad una infinità di rette parallele alle precedenti ma non baricentriche.

Consideriamo ora cosa accade ai momenti di inezia se ruotiamo il sistema di riferimento:

$$
\begin{gather}
\begin{bmatrix}\overline{I^{\ast }}\end{bmatrix} =\int _{A}\begin{Bmatrix}\overline{r^{^{\ast }}}\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}\overline{r^{^{\ast }}}\end{Bmatrix}^{T} dA= \int _{A}({N} \cdot {\overline{r}}) \cdot \left({N} \cdot {\overline{r}}^{T}\right) dA=\int _{A}({N} \cdot {\overline{r}}) \cdot \left({\overline{r}}^{T} \cdot {N}^{T}\right) dA
\end{gather}
$$

e portando fuori dall’integrale le matrici costanti:

$$\begin{bmatrix} \overline{I^\ast} \end{bmatrix} = \int_{A} \begin{Bmatrix} \overline{r^\ast} \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \overline{r^\ast} \end{Bmatrix}^T \,dA = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \cdot \int_{A} \begin{Bmatrix} \overline{r} \end{Bmatrix} \cdot \begin{Bmatrix} \overline{r} \end{Bmatrix}^T \,dA \cdot \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T\\ =\begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \overline{I} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T $$

Ricordando che $$\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta &\sin\theta \\ -\sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix}$$ e facendo i calcoli in modo esplicito si ottiene

$$\begin{matrix} \overline{I_{xx}^{\ast}} = \overline{I_{xx}}\cos^{2}\theta+\overline{I_{yy}}\sin^{2}\theta-2\overline{I_{xy}}\sin\theta\cos\theta \\ \overline{I_{yy}^{\ast}} = \overline{I_{xx}}\sin^{2}\theta+\overline{I_{yy}}\cos^{2}\theta-2\overline{I_{xy}}\sin\theta\cos\theta \\ \overline{I_{xy}^{\ast}} = \overline{I_{yx}^{\ast}} =\overline{I_{xy}}\cos2\theta+\frac{1}{2}\left(\overline{I_{xx}}-\overline{I_{yy}}\right)\sin2\theta \end{matrix}$$

Osservazioni

1. La somma dei due momenti di inerzia $I_{xx}+I_{yy}$ è costante al variare dell’angolo di rotazione θ, infatti $\overline{I_{xx}^\ast}+\overline{I_{yy}^\ast}=\overline{I_{xx}}+\overline{I_{yy}}$. Tale somma è detto \astinvariante primo del tensore dei momenti di inerzia $I_{xx}+I_{yy}=tr\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}$ e può essere interpretata come momento di inerzia polare dell’area $A$ rispetto all”origine $O$ (se il sistema di riferimento è ortogonale). Infatti: $$\int_{A}r^{2}\,dA =\int_{A}(x^2+y^2)\,dA = I_{xx}+I_{yy}$$.
2. Se si uguaglia a zero il momento centrifugo $\overline{I_{xy}^\ast}$ è possibile ottenere il valore dell’angolo $\theta_0$ per cui si verifica questa condizione:

$$\overline{I_{xy}^{\ast}}=\overline{I_{yx}^{\ast}} = 0\space per \space\theta_0 =\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\overline{I_{xy}}}{\overline{I_{yy}}-\overline{I_{xx}}}\right), \space -\frac{\pi}{4};\theta;\frac{\pi}{4}$$

Gli assi corrispondenti a questa particolare orientazione vengono detti assi principali (o direzioni principali) d’inerzia ed i momenti d’inerzia corrispondenti, momenti principali di inerzia. Se il sistema inoltre ha l’origine centrata sul baricentro $G$, gli assi principali si dicono centrali d’inerzia ed i momenti, momenti centrali di inerzia.
Si può dimostrare che i momenti principali di inerzia sono il minimo ed il massimo tra tutti i momenti $\overline{I_{xx}},\overline{I_{yy}}$ che si ottengono al variare dell’angolo di rotazione $\theta$.

La legge generale di trasformazione del tensore d’inerzia per una roto-traslazione del sistema di riferimento si ottiene componendo le due leggi elementari viste in precedenza per la traslazione e la rotazione considerate separatamente:

$$\begin{bmatrix}\overline{I^\ast}\end{bmatrix}=\int_{A}\begin{Bmatrix} \overline{r^\ast}\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}\overline{r^\ast}\end{Bmatrix}^T\,dA=\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}\cdot\int_{A}\begin{Bmatrix}\overline{r}\end{Bmatrix}\cdot \begin{Bmatrix}\overline{r}\end{Bmatrix}^T \,dA\cdot\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}^T \\=\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}\cdot\left(\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}+A\cdot\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T-\begin{Bmatrix}r_0 \end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}^{T}-\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T \right)\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}^{T}$$

La formula inversa che fornisce $\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}$ in funzione di $\begin{bmatrix}\overline{I^\ast}\end{bmatrix}$ si scrive:

$$\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\overline{I^\ast}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\overline{S^\ast}\end{bmatrix}\cdot\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T+\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}\overline{S^\ast}\end{Bmatrix}^T\cdot\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}+A\cdot\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}^T$$

essendo:

$$\begin{Bmatrix}\overline{S^\ast}\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}\cdot\begin{Bmatrix}\overline{S}\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}N\end{bmatrix}\cdot\left(\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}-\begin{Bmatrix}r_0\end{Bmatrix}A\right)$$