Metodo Massonnet–Bareš — Calcolo dei traversi con esempio di calcolo

1. Premessa e campo di applicazione

Il metodo di Massonnet–Bareš permette di calcolare le azioni interne nei traversi di un graticcio di travi. Il carico è decomposto in serie di Fourier nella direzione longitudinale; i coefficienti di ripartizione trasversale $v_0$, $\kappa_1$, $\tau_1$, $v_1$ si calcolano in forma chiusa o si leggono dalle tavole numeriche (Tableaux V della KB).

Le azioni calcolate per ogni armonico $m$ sono poi sommate:

$$Q_y(x) = \sum_{m} Q_{y,m}(x), \qquad
M_y(x) = \sum_{m} M_{y,m}(x), \qquad
M_{yz}(x) = \sum_{m} M_{yz,m}(x)$$

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2. Parametri del graticcio

2.1 Geometria

Simbolo	Significato
$l$	Luce del ponte (direzione $x$)
$2b$	Larghezza totale del ponte
$b$	Semi-larghezza
$y$	Ordinata trasversale del punto di verifica, $-b \le y \le b$
$e$	Eccentricità del carico rispetto all’asse del ponte

2.2 Rigidità meccaniche

Simbolo	Significato
$\rho_P$	Rigidità flessionale delle travi longitudinali per unità di larghezza
$\rho_E$	Rigidità flessionale dei traversi per unità di lunghezza
$\gamma_P$	Rigidità torsionale delle travi longitudinali
$\gamma_E$	Rigidità torsionale dei traversi

2.3 Coordinate adimensionali

$$\varphi = \frac{\pi y}{b}, \qquad \psi = \frac{\pi e}{b}$$

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3. Parametri adimensionali del graticcio

3.1 Parametro di entretoisement $\theta$ (eq. 5.31)

$$\theta = \frac{b}{l}\left(\frac{\rho_P}{\rho_E}\right)^{1/4}$$

Esprime il rapporto fra la rigidità trasversale e quella longitudinale. Valori tipici: $0.1 \div 5.0$.

3.2 Parametro di torsione $\alpha$ (eq. 5.27)

$$\alpha = \frac{\gamma_P + \gamma_E}{2\sqrt{\rho_P \rho_E}}, \qquad \alpha \in [0,\,1]$$

• $\alpha = 0$: graticcio senza rigidità torsionale
• $\alpha = 1$: piastra isotropa (caso di Guyon)

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4. Decomposizione del carico in serie di Fourier

Il carico $p(x)$ viene sviluppato nella direzione longitudinale:

$$p(x) = \sum_{m=1}^{\infty} p_m \sin!\left(\frac{m\pi x}{l}\right)$$

4.1 Carico uniformemente distribuito di intensità $p$ su tutta la luce

$$p_m = \frac{4p}{\pi m} \quad (m \text{ dispari}), \qquad p_m = 0 \quad (m \text{ pari})$$

4.2 Carico concentrato $P$ in $x = d$

$$p_m = \frac{2P}{l}\sin!\left(\frac{m\pi d}{l}\right)$$

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5. Coefficienti di ripartizione in forma chiusa

I coefficienti sono funzioni di $\theta$, $\varphi$, $\psi$ e dell’armonico $m$. Per l’armonico $m$ si sostituisce $\theta \to m\theta$.

Si definiscono le quantità ausiliarie:

$$\sigma_m = m\theta\pi, \qquad \chi = \pi – |\varphi – \psi|$$

5.1 Coefficiente $v_0$ per $\alpha = 0$ (eq. 11.6)

$$\Lambda = \frac{m\theta\pi}{\sqrt{2}}, \qquad \beta = \Lambda!\left(1 + \frac{\varphi}{\pi}\right)$$

$$D = \sinh^2(2\Lambda) – \sin^2(2\Lambda)$$

$$v_0 = \frac{1}{D}\Bigl[F_B(\beta)\,g_A(\psi) + \sinh\beta\,\sin\beta\,g_B(\psi)\Bigr]$$

dove:

$$F_B(\beta) = \cosh\beta\,\sin\beta + \sinh\beta\,\cos\beta$$

$$g_A(\psi) = \sinh(2\Lambda)\cos(u_{e+})\cosh(u_{e-}) – \sin(2\Lambda)\cosh(u_{e+})\cos(u_{e-})$$

$$g_B(\psi) = \sinh(2\Lambda)\bigl[\sin(u_{e+})\cosh(u_{e-}) – \cos(u_{e+})\sinh(u_{e-})\bigr]
+ \sin(2\Lambda)\bigl[\sinh(u_{e+})\cos(u_{e-}) – \cosh(u_{e+})\sin(u_{e-})\bigr]$$

con $u_{e\pm} = \Lambda!\left(1 \pm \dfrac{\psi}{\pi}\right)$.

Proprieta di antisimmetria (verificata numericamente su Tableaux KB §11.2, $\theta=0.70$):

$$v_0(\varphi,\psi) = -v_0(-\varphi,-\psi)$$

Pertanto, per $\varphi > \psi$ (punto di verifica all’esterno del carico):

$$v_0(\varphi,\psi) = -v_0(-\varphi,-\psi)$$

Nota: per $\alpha = 0$ si ha $\kappa_0 = v_0$.

5.2 Funzioni ausiliarie comuni (eq. 6.54)

Per i coefficienti $\kappa_1$ e $\tau_1$ si usano le funzioni:

$$R_\psi = (\sigma\cosh\sigma – \sinh\sigma)\cosh(m\theta\psi) – m\theta\psi\,\sinh\sigma\,\sinh(m\theta\psi)$$

$$Q_\psi = (2\sinh\sigma + \sigma\cosh\sigma)\sinh(m\theta\psi) – m\theta\psi\,\sinh\sigma\,\cosh(m\theta\psi)$$

$$D_1 = 3\sinh\sigma\cosh\sigma – \sigma, \qquad D_2 = 3\sinh\sigma\cosh\sigma + \sigma$$

5.3 Coefficiente $\kappa_1$ per $\alpha = 1$ (eq. 11.11)

$$\tilde{A}_\chi = (\sigma\cosh\sigma – 2\sinh\sigma)\sinh(m\theta\chi) – m\theta\chi\,\sinh\sigma\,\cosh(m\theta\chi)$$

$$\tilde{A}_\varphi = (\sigma\cosh\sigma – 4\sinh\sigma)\sinh(m\theta\varphi) – m\theta\varphi\,\sinh\sigma\,\cosh(m\theta\varphi)$$

$$R_\varphi = (\sigma\cosh\sigma – \sinh\sigma)\cosh(m\theta\varphi) – m\theta\varphi\,\sinh\sigma\,\sinh(m\theta\varphi)$$

$$\kappa_1 = -\frac{\pm\tilde{A}\chi + \tilde{A}\varphi\,R_\psi/D_1 + R_\varphi\,Q_\psi/D_2}{4\sinh^2\sigma}$$

Il segno è $+$ per $\psi \ge \varphi$, $-$ per $\psi < \varphi$.

5.4 Coefficiente $\tau_1$ per $\alpha = 1$ (eq. 9.8)

$$A_\varphi = (\sigma\cosh\sigma – 2\sinh\sigma)\sinh(m\theta\varphi) – m\theta\varphi\,\sinh\sigma\,\cosh(m\theta\varphi)$$

$$B_\varphi = (\sinh\sigma + \sigma\cosh\sigma)\cosh(m\theta\varphi) – m\theta\varphi\,\sinh\sigma\,\sinh(m\theta\varphi)$$

$$T_\chi = \sigma\cosh\sigma\,\sinh(m\theta\chi) – m\theta\chi\,\sinh\sigma\,\cosh(m\theta\chi)$$

$$\tau_1 = \frac{\pm T_\chi + A_\varphi\,R_\psi/D_1 + B_\varphi\,Q_\psi/D_2}{4\sinh^2\sigma}$$

Il segno è $+$ per $\psi \ge \varphi$, $-$ per $\psi < \varphi$.

5.5 Coefficiente $v_1$ per $\alpha = 1$ (eq. 11.7)

$$v_1 = \frac{\pm 2\sinh\sigma\,\sinh(m\theta\chi) + 2\sinh\sigma\,\sinh(m\theta\varphi)\,R_\psi/D_1 + 2\sinh\sigma\,\cosh(m\theta\varphi)\,Q_\psi/D_2}{4\sinh^2\sigma}$$

Il segno è $+$ per $\psi \ge \varphi$, $-$ per $\psi < \varphi$.

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6. Interpolazione per $\alpha$ generale

6.1 Coefficiente $\kappa_a$ (eq. 11.8a)

$$\kappa_a = \kappa_0 + (\kappa_1 – \kappa_0)\,\alpha^{1/4}$$

6.2 Coefficiente $\tau_a$ (eq. 9.9)

$$\tau_a = \tau_1 \cdot \alpha^{1/4}$$

6.3 Coefficiente $v_a$ nella piastra ortotropa (eq. 11.8)

$$v_a = v_0 + (v_1 – v_0)\,\sqrt{\alpha}$$

6.4 Coefficiente $\mu_a$ per i momenti (eq. 12.14 — Sattler)

$$\mu_a = \begin{cases}
\mu_0 + (\mu_1 – \mu_0)\,\alpha^{0.05} & 0 < \theta \le 0.1 \[6pt]
\mu_0 + (\mu_1 – \mu_0)\,\alpha!\left[1 – e^{-(0.065-\theta)/0.663}\right] & 0.1 < \theta \le 1.0 \[6pt]
\mu_0 + (\mu_1 – \mu_0)\,\sqrt{\alpha} & \theta > 1.0
\end{cases}$$

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7. Calcolo delle azioni nel traverso

7.1 Taglio trasversale senza torsione (eq. 11.1)

$$Q_{y,m} = \kappa_{a,m}\,p_m\,\sin!\left(\frac{m\pi x}{l}\right)$$

7.2 Taglio trasversale con torsione — graticcio (eq. 11.10)

$$Q_{y,m} = p_m!\left[\kappa_{a,m} + \frac{2\gamma_P}{\gamma_P+\gamma_E}\,\tau_{a,m}\right]\sin!\left(\frac{m\pi x}{l}\right)$$

7.3 Reazione al bordo (eq. 11.10b)

$$\bar{Q}{y,m} = p_m!\left[\kappa{a,m} + \frac{4\gamma_P}{\gamma_P+\gamma_E}\,\tau_{a,m}\right]\sin!\left(\frac{m\pi x}{l}\right)$$

7.4 Momento flettente nel traverso

$$M_{y,m} = \mu_{a,m}\,p_m\,\sin!\left(\frac{m\pi x}{l}\right)$$

7.5 Momento di torsione nel traverso (eq. 9.7b)

$$M_{yz,m} = -\frac{2\gamma_E}{\gamma_P+\gamma_E}\,\tau_{a,m}\,\frac{l}{m\pi}\,p_m\,\cos!\left(\frac{m\pi x}{l}\right)$$

Il momento torcente è massimo agli appoggi ($x = 0$ e $x = l$) e nullo in mezzeria.

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8. Schema operativo

flowchart TD

    A["<b>1. Input</b><br/>l, b, ρ_P, ρ_E, γ_P, γ_E<br/>carico P o p, d, y, e"]

    B["<b>2. Parametri adimensionali</b><br/>θ = (b/l)·(ρ_P/ρ_E)^¼<br/>α = (γ_P+γ_E) / (2√(ρ_P·ρ_E))"]

    C["<b>3. Coordinate normalizzate</b><br/>φ = πy/b,  ψ = πe/b"]

    D["<b>4. Decomposizione di Fourier</b><br/>p_m = (2P/l)·sin(mπd/l)<br/>oppure  p_m = 4p/(πm)"]

    E["<b>5. Coefficienti in forma chiusa</b><br/>per armonico m  (θ → m·θ)<br/>v₀ = κ₀,  κ₁,  τ₁,  v₁"]

    F["<b>6. Interpolazione in α</b><br/>κ_a = κ₀ + (κ₁−κ₀)·α^¼<br/>τ_a = τ₁·α^¼<br/>μ_a = Sattler(μ₀, μ₁, α, θ)"]

    G["<b>7. Azioni per l'armonico m</b><br/>Q_ym,  M_ym,  M_yzm"]

    H{"Ultimo<br/>armonico?"}

    I["<b>8. Somma su tutti gli armonici</b><br/>Q_y = Σ Q_ym<br/>M_y = Σ M_ym<br/>M_yz = Σ M_yzm"]



    A --> B --> C --> D --> E --> F --> G --> H

    H -- "no: m = m+1" --> E

    H -- "sì" --> I

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9. Esempio di calcolo numerico

9.1 Dati del problema

Quantità	Valore	Note
$l$	$10{,}0$ m	Luce del ponte
$b$	$4{,}0$ m	Semi-larghezza
$y$	$2{,}0$ m	Ordinata del punto di verifica ($= b/2$)
$e$	$1{,}0$ m	Eccentricità del carico ($= b/4$)
$\rho_P = \rho_E$	$1{,}0$	Rigidità flessionale uniforme
$\gamma_P = \gamma_E$	$0{,}49$	Rigidità torsionale
$P$	$10{,}0$ t	Carico concentrato in mezzeria ($d = l/2 = 5$ m)

9.2 Parametri adimensionali

$$\theta = \frac{b}{l}\left(\frac{\rho_P}{\rho_E}\right)^{1/4} = \frac{4{,}0}{10{,}0}\cdot 1{,}0^{1/4} = \mathbf{0{,}40}$$

$$\alpha = \frac{\gamma_P + \gamma_E}{2\sqrt{\rho_P\rho_E}} = \frac{0{,}49 + 0{,}49}{2\cdot 1{,}0} = \mathbf{0{,}49}$$

Coordinate normalizzate:

$$\varphi = \frac{\pi \cdot 2}{4} = \frac{\pi}{2}, \qquad \psi = \frac{\pi \cdot 1}{4} = \frac{\pi}{4}$$

Poiché $\varphi > \psi$ (il punto di verifica è all’esterno del carico), i coefficienti saranno negativi per effetto dell’antisimmetria della funzione di influenza.

9.3 Decomposizione del carico — carico concentrato in mezzeria

$$p_m = \frac{2P}{l}\sin!\left(\frac{m\pi d}{l}\right) = \frac{2\cdot 10}{10}\sin!\left(\frac{m\pi}{2}\right)$$

$m$	$\sin(m\pi/2)$	$p_m$ (t/m’)
1	$+1{,}000$	$+2{,}0000$
2	$0{,}000$	$0{,}0000$
3	$-1{,}000$	$-2{,}0000$

9.4 Coefficienti di ripartizione in forma chiusa

Per ogni armonico si usa $\theta_m = m\theta$. I valori sono calcolati con le formule in forma chiusa del §5.

$m$	$m\theta$	$v_0 = \kappa_0$	$\kappa_1$	$\tau_1$	$v_1$
1	$0{,}40$	$-0{,}37477$	$-0{,}27558$	$+0{,}00045$	$-0{,}27513$
2	$0{,}80$	$-0{,}26491$	$-0{,}17643$	$-0{,}05686$	$-0{,}23328$
3	$1{,}20$	$-0{,}17306$	$-0{,}10322$	$-0{,}08169$	$-0{,}18492$

Verifica con tavole KB — a $\theta = 0{,}70$, $y = b/2$, $e = b/4$:

$$v_0 = -0{,}29637 \quad \text{(formula)} \qquad \text{Tavola I (KB §11.2): } -0{,}29637 \checkmark$$

9.5 Interpolazione per $\alpha = 0{,}49$

$$\alpha^{1/4} = 0{,}49^{0{,}25} = 0{,}8384, \qquad \sqrt{\alpha} = 0{,}49^{0{,}5} = 0{,}7000$$

$m$	$\kappa_{a,m}$	$\tau_{a,m}$	$v_{a,m}$
1	$-0{,}29179$	$+0{,}00032$	$-0{,}30502$
2	$-0{,}19088$	$-0{,}03980$	$-0{,}24277$
3	$-0{,}11463$	$-0{,}05718$	$-0{,}18136$

Dettaglio per $m = 1$:

$$\kappa_{a,1} = \kappa_0 + (\kappa_1 – \kappa_0)\,\alpha^{1/4} = -0{,}37477 + (-0{,}27558 + 0{,}37477)\cdot 0{,}8384 = -0{,}29179$$

$$\tau_{a,1} = \tau_1\cdot\alpha^{1/4} = 0{,}00045\cdot 0{,}8384 = +0{,}00032$$

9.6 Azioni di verifica in mezzeria ($x = l/2$)

In mezzeria $\sin(m\pi x/l) = \sin(m\pi/2)$, quindi i contributi sono proporzionali a $p_m\cdot\sin(m\pi/2)$.

Taglio trasversale con torsione (eq. 11.10):

$$Q_{y,m} = p_m!\left[\kappa_{a,m} + \frac{2\gamma_P}{\gamma_P+\gamma_E}\,\tau_{a,m}\right]\sin!\left(\frac{m\pi}{2}\right)$$

con $\dfrac{2\gamma_P}{\gamma_P+\gamma_E} = \dfrac{2\cdot 0{,}49}{0{,}98} = 1{,}0$.

$m$	$p_m$	$\kappa_{a,m}+\tau_{a,m}$	$\sin(m\pi/2)$	$Q_{y,m}$
1	$+2{,}0$	$-0{,}29147$	$+1{,}000$	$-0{,}5830$
2	$0{,}0$	—	—	$0{,}0000$
3	$-2{,}0$	$-0{,}17181$	$-1{,}000$	$-0{,}3436$

$$Q_y = \sum_m Q_{y,m} = -0{,}9266 \text{ t/m}’$$

Momento flettente (usando $\mu_{a,m} \approx \kappa_{a,m}$ come stima in assenza di tavole II):

$$M_y = -1{,}2046 \text{ t·m/m}’$$

Reazione al bordo (eq. 11.10b, con $4\gamma_P/(\gamma_P+\gamma_E) = 2{,}0$):

$$\bar{Q}_y = -1{,}0403 \text{ t/m}’$$

Momento di torsione (massimo agli appoggi, $x \to 0$, $\cos(m\pi x/l) \to 1$):

$$M_{yz,m} = -\frac{2\gamma_E}{\gamma_P+\gamma_E}\,\tau_{a,m}\,\frac{l}{m\pi}\,p_m$$

$$M_{yz} = -0{,}1234 \text{ t·m/m}’ \quad \text{(agli appoggi)}$$

9.7 Riepilogo dei risultati

Azione	Valore	Unità
Taglio trasversale $Q_y$	$-0{,}9266$	t/m’
Momento flettente $M_y$	$-1{,}2046$	t·m/m’
Reazione al bordo $\bar{Q}_y$	$-1{,}0403$	t/m’
Momento torcente $M_{yz}$	$-0{,}1234$	t·m/m’

Il segno negativo di $Q_y$ e $M_y$ indica che il punto di verifica ($y = b/2 = 2$ m) si trova all’esterno della posizione del carico ($e = b/4 = 1$ m): la ripartizione trasversale produce un sollievo in quel punto (funzione di influenza negativa).

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11. Riferimenti

• Massonnet, Ch. — Le calcul des grillages de poutres et dalles orthotropes
• Bareš, R. — Tavole numeriche dei coefficienti $K$, $\mu$, $\tau$, $\varepsilon$, $v$ (Tableaux I–V)
• Sattler, K. — Formula di interpolazione per $\mu_a$ (eq. 12.13–12.14)
• Guyon, Y. — Formule per $\alpha = 1$ (caso isotropo)

Schemi notevoli rigidezze

Travi notevoli