Si riportano di seguito le formule delle caratteristiche di sollecitazione (momento e taglio) e delle frecce per alcuni sistemi statici più semplici.
| Sollecitazione/Deformazione | Formula | Descrizione |
|---|---|---|
| Momento in mezzeria | $M_{l/2} = \frac{q \, l^2}{8}$ | Il momento flettente al centro della trave. |
| Taglio sugli appoggi | $T_{0} = -T_{l} = \frac{q \, l}{2}$ | Il taglio agli estremi della trave (uguale e opposto ai due appoggi). |
| Freccia in mezzeria | $f_{l/2} = \frac{5}{384} \frac{1}{E \, J} q \, l^4 + \frac{1}{8} \frac{\chi}{G \, A} q \, l^2$ | La massima flessione verticale al centro della trave. |
| Rotazione su appoggio | $\phi_{l} = – \phi_{0} = \frac{1}{24} \frac{1}{E \, J} q \, l^3$ | L’angolo di rotazione agli appoggi della trave (uguale e opposto ai due appoggi). |
| Sollecitazione/Deformazione | Formula | Descrizione |
|---|---|---|
| Momento in mezzeria | $M_{l/2} = \frac{P \, l}{4}$ | Il momento flettente al centro della trave. |
| Taglio sugli appoggi | $T_{0} = -T_{l} = \frac{P}{2}$ | Il taglio agli estremi della trave (uguale e opposto ai due appoggi). |
| Freccia in mezzeria | $f_{l/2} = \frac{1}{48} \frac{1}{E \, J} P \, l^3 + \frac{1}{4} \frac{\chi}{G \, A} P \, l$ | La massima flessione verticale al centro della trave. |
| Sollecitazione/Deformazione | Formula | Descrizione |
|---|---|---|
| Momento all’incastro | $M_{0} = – \frac{q l^2}{2}$ | Il momento flettente all’incastro della trave. |
| Taglio all’incastro | $T_{0} = ql$ | Il taglio all’incastro della trave. |
| Freccia estremo libero | $f_{l} = \frac{1}{8} \frac{1}{E \, J} q \, l^4 + \frac{1}{2} \frac{\chi}{G \, A} q \, l^2$ | La massima flessione verticale all’estremo libero della trave. |
| Sollecitazione/Deformazione | Formula | Descrizione |
|---|---|---|
| Momento all’incastro | $M_{0} = – P \, l$ | Il momento flettente all’incastro della trave. |
| Taglio all’incastro | $T_{0} = P$ | Il taglio all’incastro della trave. |
| Freccia estremo libero | $f_{l} = \frac{1}{3} \frac{1}{E \, J} P \, l^3 + \frac{\chi}{G \, A} P \, l$ | La massima flessione verticale all’estremo libero della trave. |
In queste formule:
– $q$ rappresenta il carico distribuito per unità di lunghezza.
– $P$ è il carico concentrato applicato.
– $l$ è la lunghezza della trave.
– $E$ è il modulo di Young del materiale della trave.
– $J$ è il momento d’inerzia della sezione trasversale della trave.
– $G$ è il modulo di taglio del materiale.
– $A$ è l’area della sezione trasversale della trave.
– $\chi$ è un coefficiente che dipende dalla forma della sezione trasversale.
Il percorso adottato per la definizione della pericolosità sismica di un sito fa riferimento al Metodo Cornell (1968).
La procedura e basata su una distribuzione probabilistica degli eventi sismici, in particolare sulla distribuzione di Poisson.
Il sisma è un evento casuale. Fisso un periodo di riferimento $V_R$ all’interno del quale si effettuano delle valutazioni di probabilità. Si definisce poi un numero medio $y$ di eventi che accadono all’interno del periodo di riferimento e si stabilisce la probabilità che un evento accada $n$ volte nel periodo di riferimento.
$$
P_n = \frac{y^n}{n!}e^{-y}
$$
Ipotizziamo che l’evento $y=1$ si verifichi $n$ volte nel periodo di riferimento $V_R$ :
Se $n=1$
$$
y=1, \rightarrow P_1 = 1
$$
Se $n=2$
$$
y=1, \rightarrow P_2=\frac{1^2}{2!}e^{-1} = 0,184 \rightarrow 18,4\%
$$
Se $n=3$
$$
P_3=\frac{1^3}{3!}e^{-1}=0,061 \rightarrow 6,1\%
$$
E così via. Si è dimostrato che questo tipo di distribuzione di probabilità si adatta bene agli eventi sismici.
Consideriamo ora un periodo di riferimento $V_R$ e ipotizziamo di conoscere il numero di eventi sismici accaduti nel periodo di riferimento $V_R$ :
$$
\frac{y}{V_R}=\text{Frequenza di accadimento media}=\lambda
$$
L’inverso è pari a:
$$
\frac{V_R}{y}=\frac{1}{\lambda}=T_R
$$
$T_R$ è l’intervallo di tempo medio tra un accadimento e l’altro, ovvero il periodo medio di ritorno.
Ad esempio, facendo riferimento all’accadimento di un solo evento: $y=1$
$$
\frac{1}{V_R}=\lambda \rightarrow V_R=\frac{1}{\lambda}
$$
Quindi:
$$
y=V_R \cdot \lambda
$$
Grazie a questo, è possibile definire la probabilità che non accada nessun evento ($n=0$):
$$
P_0 = \frac{(\lambda V_R)^0}{0!}e^{-\lambda V_R}=e^{-\lambda V_R} = P_0
$$
Viceversa, è possibile dire che la probabilità che accada almeno un evento è:
$$
P_{n>1}=1-e^{-\lambda V_R} = P_{V_R}
$$
Probabilità di accadimento di un evento in un periodo $V_R$
È possibile dire che:
$$
\begin{align} 1-P_{V_R} = e^{-\lambda V_R} \rightarrow ln(1-P_{V_R}) = -\lambda V_R \
= -y \
ln(1-P_{V_R})=-\frac{V_R}{T_R}
\end{align}
$$
perche
$$\lambda V_R = y \rightarrow \space \frac{V_R}{y} = \frac{1}{\lambda}=T_R \rightarrow y=\frac{V_R}{T_R}
$$
Allora:
$$
T_R = – \frac{V_R}{ln(1-P_{V_R})}
$$
[!TEMPO DI RITORNO MEDIO (NTC)]
Fissata una probabilta di accadimento $P_{V_R}$ trovo il periodo di ritorno dall’evento sismico.
Source: [[Valutazione della pericolosita sismica – Sabetta, Paciello.pdf]]